Question

Exercitiul 46, multumesc anticipat.

Answer 1

Salut,

Știm de la teorie că media armonică este mai mică sau egală cu cea aritmetică.
Scriem acest lucru pentru numerele pozitive a și b:

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq\dfrac{a+b}2,\ sau\ \dfrac{2ab}{a+b}\leq\dfrac{a+b}2,\ sau\ \dfrac{ab}{a+b}\leq\dfrac{a+b}4\ (1)$
Similar obținem următoarele 2 inegalități, pentru perechile de numere b și c, și separat a și c:

$\dfrac{bc}{b+c}\leq\dfrac{b+c}4\ (2)\\\\\dfrac{ac}{a+c}\leq\dfrac{a+c}4\ (3).$

Dacă adunăm inegalitățile (1), (2) și (3) membru cu membru, obținem:

$\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}\leq\dfrac{a+b+b+c+a+c}4,\ sau\\\\\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}\leq\dfrac{a+b+c}2,\ ceea\ ce\ trebuia\ demonstrat.$
Simplu, nu ? :-)).
Green eyes.