Question

Exercitiul 88, va rog. Nu stiu cum sa il rezolv.
multumesc​

Answer 1

Salut,

Scriem limita așa, prin împățirea fiecărui termen cu termenul cel mai puternic, adică împărțim cu 4ⁿ:

$L=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\left(\dfrac{2}{4}\right)^n+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{a}{4}\right)^n}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{4}{4}\right)^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{a}{4}\right)^n}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1}$

1/2 și 3/4 sunt valori subunitare, deci (1/2)ⁿ și (3/4)ⁿ tind fiecare la 0.

Asta înseamnă că evaluarea limitei din enunț se restrânge la evaluarea limitei (a/4)ⁿ, când n tinde la +∞.

Avem următoarele cazuri:

1). Cazul 1, când a ≤ --4, limită din (a/4)ⁿ nu există;

2). Cazul 2, când --4 < a < +4, limită din (a/4)ⁿ este 0;

3). Cazul 3, când a = 4, limită din (a/4)ⁿ este 1;

4). Cazul 4, când a > +4, limită din (a/4)ⁿ este +∞.

Pentru ca limita din enunț să fie 0 este valabil cazul 2 de mai sus, trebuie deci să avem că a ∈ (0, +4), pentru că din enunț avem condiția ca a > 0.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.