Question

Exercitiul E1 ..........

Answer 1

Răspuns:

Teorema:limita   unui   raport   de   polinoame   este  0   daca   gradul  numitorului mai  mare   decat  gradul   numaratorului

±∞ daca   gradul   numaratorului   mai   mare decat   gradul  numitorului

-raportul   coeficientilor   termenilor  de   grad   cel  mai   inalt   in  cazul  in  care  numitorul  si numaratorul   au  acelasi   grad

a)lim  an=0  pt  ca   numaratorul are   gradul  1  si  numitorul   are  gradul 2

b)lim  an=0  pt   ca    numaratorul   are   gradul   2  si  numitorul  gradul 3

c)$\sqrt[n]{1+2^{n} }$ =an

Aplici   criteriul   radacinii

(1+2ⁿ⁺¹)/(1+2ⁿ)=(1+2*2ⁿ)/(1+2ⁿ)=2ⁿ(1/2ⁿ+2*2ⁿ/2ⁿ)/2ⁿ(1/2ⁿ+2ⁿ/2ⁿ)=(0+2)/(0+1)=2/1=2

d)aplici  tot  criteriul  radacinii

lim(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)/(2ⁿ+3ⁿ)=lim(2*2ⁿ+3*3ⁿ)/(2ⁿ+3ⁿ)=dai  factor  comum  fortat  pe   3ⁿ=lim3ⁿ[(2/3)ⁿ+3*3ⁿ/3ⁿ]/3ⁿ(2/3ⁿ+3ⁿ/3ⁿ)=(0+3)/(0+1)=3

e)an=3ⁿ/n!

Aplici   criteriul   raportului

liman=lim3ⁿ⁺¹/(n+1)!:3ⁿ/n!=lim

3*3ⁿ/m!*(n+1)*n!/3ⁿ=lim3/(n+1)=0

f)an=eⁿ/n! aplici  criteriul   raportului

liman=eⁿ⁺¹/(n+1)!:eⁿ/n!=lime*eⁿ/n!*(n+1)*n!/eⁿ=

lim  e/(n+1)=0

g)aplici  tot  criteriul  raportului .demonstratia   identica   cu   pct  e   si  f

h)an=(2ⁿ+3ⁿ+5ⁿ)/n!

2ⁿ+3ⁿ+5ⁿ<5ⁿ+5ⁿ+5ⁿ=3*5ⁿ=>

lim  an<lim  3*5ⁿ/n!   aplici   criteriul  raportului  si-ti   va  da   0|=>  lim   an=0

Revin

i)an=2ⁿ/3ⁿ+1<2ⁿ/3ⁿ=(2/3)ⁿ

lim(2/3)ⁿ=0  deoarece  un  numar   subunitar  ridicat   la   oo   tinde  la  0

=. >lim  an=0

j)an=(2ⁿ+3ⁿ)/(3ⁿ+4ⁿ)=la   numarator   dai   factor   comun  fortat   pe    3ⁿ si  la   numitor   pe  4ⁿ

lim  an=lim3ⁿ(2ⁿ/3ⁿ+3ⁿ/3ⁿ)/4ⁿ(3ⁿ/4ⁿ+4ⁿ/4ⁿ)=lim(3/4)ⁿ*(0+1)/(0+1)=0*1=0

Explicație pas cu pas: