Question

Exerciutiul a fost atasat! As fi recunoscator daca mi-ati oferi macar un indiciu cu ajutorul caruia sa pot calcula cat mai direct posibil.

Answer 1

Răspuns

(10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica b).

Daca ai intrebari, nu ezita sa mi le pui!!!

Explicație pas cu pas:

Scriem determinantul pe linii

100a+10b+c  100b+10c+a  100c+10a+b

100c+10a+b  100a+10b+c  100b+10c+a

100b+10c+a  100c+10a+b  100a+10b+c

si-l descompunem in trei determinanti:

100a  100b  100c

100c 100a  100b

100b  100c  100a

+

10b  10c  10a

10a  10b  10c

10c  10a  10b

+

c  a  b

b  c  a

a  b  c.

Extragem factorii comuni din fiecare:

100^3 = 10^6 ori

a  b  c

c  a  b

b  c  a

+ 10^3 ori

b  c  a

a  b  c

c  a  b

+

c  a  b

b  c  a

a  b  c

=

10^6 ori

a  b  c

c  a  b

b  c  a

si acum, stiindu-se ca dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem un determinant care are valoarea egala cu opusul  determinantului iniţial, obtinem:

- 10^3

a  b  c

c  a  b

b  c  a(am schimbat intre ele col. 3 cu col, 1, de acolo am primit semnul minus)

+

a  b  c

c  a  b

b  c  a

(am schimbat col 2 cu 1 si apoi col 3 cu col 2, deci dubla schimbare care-mi lasa semnul + neschimbat.

Mai avem de calculat acum determinatul

a  b  c

c  a  b

b  c  a

= (dezvoltam dupa o linie, sau daca vrei regula lui Sarus sau a triunghiului. Eu prefer dezvoltarea dupa elementelor unei linii, fie ea prima linie)

= a(a^2 -bc) - b(ac-b^2) + c(c^2-ab) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.

Concluzionand, avem: (10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica raspuns CORECT este b).

Raspuns final si IREVOCABIL: (10^6 - 10^3 + 1) (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc), adica b).

Frumoasa problema.