Question

f ° f ° f °...° f de n ori = ?
f : R------>R
f(x)= ax + b

Verificați rezultatul prin metoda inducției matematice

( ° = compus )​

Answer 1

Răspuns:

notez fₙ= f ° f ° f °...° f -de n-ori

demonstram ca fₙ(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1)

Verificam rezultatul prin metoda inducției matematice

n=1 ⇒ f₁(x) = f(x) = a¹x + b·a⁰ = ax+b - adevarat

n=2 ⇒ f₂(x) =a²x + b(a¹+1)

f₂(x) = (f ° f)(x)=a·f(x)+b = a(ax + b)+b=a²x + b·a+b = a²x + b(a¹+1) - adevarat

presupunem ca relatia este adevarata pentru n ∈ N*

fₙ(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1)

demonstram ca relatia este satisfacuta pentru n+1

fₙ₊₁(x) = aⁿ⁺¹x+b(aⁿ+aⁿ⁻¹+...+a²+a+1)

fₙ₊₁(x) = (fₙ ° f](x) =

= aⁿ·f(x)+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =

= aⁿ·(ax+b)+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =

= aⁿ·ax+aⁿ·b+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1) =

= aⁿ⁺¹x+b(aⁿ+aⁿ⁻¹+...+a²+a+1) -q.e.d.

=> (f ° f ° f °...° f)(x) = aⁿx+b(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a²+a+1), unde f ° f ° f °...° f -de n-ori