Question

f:R-> R ,f(1) = x2010 -1-2010(x-1)
a).Sa se arate ca f este crescatoare pe (1, +&)
b).Sa se arate ca tangenta la Gf in punctul A(1,2) este || cu dreapta de ecuatie y=2010
c).Sa se arate ca f este convexa pe R

Answer 1

f(x) =x^2010-1-2010(x-1)
f'(x) =2010x^2009-2010= 2010(x^2009-1)
 c)f''(x) =2010*2009 x^2008≥0 ∀x∈R , deci convexa ( !!! in 0, f"(x) =0, dar in vecinatatea lui 0 nu schimba semnul, deci 0 NU este punctde inflexiune)

a) f''(x) ≥0, f'(x) , crescatoare
se anuleaz o singura data in x=1(verificare 2010*(1^2009-1)=2010*0=0)
sau altfel descompunand
x^2009 -1= (x-1) (x^2008+x^2007+...+x+1),care are o sg radacina reala x=1

studiind x^2009-1 observam ca pt x>1 , x^2009-1>0, deci f'(x) >0, f(x) crescatoare pe (1;∞)
si ptx<1.....f(x)descrescatoare  (1 e punct de minim)


b) f'(1) =0 panta tangentei la grafic=0 si tangenta are ecuatia y=f(1)
sau mai riguros y-f(1) =0(x-1) adica acelasi lucru

f(1)=1^2010-1-2010(1-1)=1-1-0=0
ecuatia este y=0
 desigur aceasta dreapta ( care este insasi axa Ox) este || cu y=2010

pt ca toate dreptele y=a, a∈R, sunt paralele cu axa Ox