Question

f(x) = { 2x-1, cand x<=1
lnx/(x-1) cand x>1

Demonstrati ca f(x)<=1

Answer 1

pt x≤1, f(x)crescatoareptca a=2>0
deci valoarea maxima va fi f(1)=2*1-1=1


pt x>1, x/(x-1)∈(1,∞) descrescatoare, functie omografica
atunci si ln(x/(x-1))∈(ln1,ln∞)=(0,∞) deci ne pare rau text gresit , exista x asafel incat f(x) >1
de exemplu fie x=1,001∈(1;∞)
atunci x/(x-1)=1/0,001=1000
ln1000>6,9>1 deci cerinta este gresita


probabil era x/(x+1) sub logartim
si atunci
x/(x+1) ∈(1/2;1) crescatoare
lnx crescatoare ptca e>1, deci f minim ;ln1/2<0<1
fmaxim =ln(1)=0<1
sicerinta este indeplinita ∀x∈R