Question

F (x)= 3x pătrat- 5x+9 totul supra -3x pătrat-8x+3
Trebuie sa aflu domeniile maxime de existenta precum și domeniul valorilor

Answer 1

[tex]\it F(x) = \dfrac{3x^2-5x+9}{-3x^2-8x+3}[/tex]

Fracția este definită pentru valorile lui x care nu anulează numitorul.

Determin valorile evitabile ale lui x rezolvând ecuația :

[tex]\it -3x^2-8x+3 =0 |_{\cdot(-1)} \Leftrightarrow 3x^2+8x-3=0[/tex]

Pentru aflarea rădăcinilor, aplic formula "pe jumătate".

[tex]\it x_{1,2} = \dfrac{-4\pm\sqrt{16+9}}{3} =\dfrac{-4\pm5}{3} \\\;\\ \\\;\\ x_1= \dfrac{-4-5}{3} = \dfrac{-9}{3}=-3 \\\;\\ \\\;\\ x_2= \dfrac{-4+5}{3} = \dfrac{1}{3}[/tex]

Domeniul de definiție(existență) este :

[tex]\it D= \mathbb{R}\backslash \{-3,\ \dfrac{1}{3}\}[/tex]

Determin acum domeniul valorilor y ∈ R, pentru care  F(x) = y

[tex]\it \dfrac{3x^2-5x+9}{-3x^2-8x+3} =y \Leftrightarrow 3x^2-5x+9 = y(-3x^2-8x+3) \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow 3x^2-5x+9 = -3yx^2-8yx+3y \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow 3x^2-5x+9 +3yx^2+8yx-3y=0 \Leftrightarrow [/tex]

[tex]\it \Leftrightarrow 3(1+y)x^2 -(5-8y)x+3(3-y) =0[/tex]

În ecuația obținută, avem x∈R  dacă discriminantul Δ ≥0.

Δ = (5-8y)² - 4·3(1+y)·3(3-y) = 25-80y+64y² -36(3-y+3y-y²) 

După efectuarea calculelor se obține:

Δ = 100y² - 152y - 83 

Punem condiția ca Δ ≥ 0  și din determinarea semnului funcției 

f(y) = 100y² - 152y - 83  aflăm  mulţimea valorilor:

$\it y\in \mathbb{R}\backslash \left(\dfrac{38 - 3\sqrt{391}}{50},\ \dfrac{38+3\sqrt{391}}{50}\ \right)$

Deci, domeniul de existenţă este 

 

$\it D= \mathbb{R}\backslash \{-3,\ \dfrac{1}{3}\}$, 

iar mulţimea valorilor este 

$\it y\in \mathbb{R}\backslash \left(\dfrac{38 - 3\sqrt{391}}{50},\ \dfrac{38+3\sqrt{391}}{50}\ \right)$