Question

f(x)=x^2-2(m-1)x+m+5

Aflati m asa incat f(x)> sau = cu 0.

HELP!

Answer 1

Pentru f : R -> R, f(x)= $x^{2} -2(m-1)x +m+5$
Avem o functie de gradul 2 adica f(x)=$a x^{2} +bx +c$ iar in cazul nostru avem a=1; b= -2(m-1)  si c= m+5
Si discriminantul notat Δ= $b^{2} -4ac$
O functie de gradul 2 este mai mare sau egala decat 0 oricare ar fi x∈R daca se indeplinesc simultan urmatoarele conditii:
1) a>0 Adevarat pentru functia noastra deoarece a=1
2) Δ≤0
Calculam Δ= $[-2(m-1)]^{2} = 4(m-1)^{2}=4(m^{2} -2m +1)= 4m^{2}-8m+4$

Trebuie aflat m astfel incat Δ≤0
adica $4m^{2}-8m+4$
Obtinem asadar o noua functie de gradul 2 cu variabila m, si trebuie aflat pentru ce valori ale lui m functia capata valori mai mici sau egale cu 0.
Calculam noul discriminant notat Δ' al functiei nou obtinute.
Δ'= $(-8)^{2} -4*4*4=64-64=0$

Radacinile functiei sunt $m_{1} = \frac{8- \sqrt{0} }{2*4} = 1$
si $m_{2} = \frac{8+ \sqrt{0} }{2*4} = 1$
Adica are o singura radacina si anume 1.
Functia noua are semnul opus coeficientului lui m (adica -) pana la radacina gasita, si semnul coeficientului lui m (adica +) dupa radacina (exprimarea pana la radacina si dupa radacina inseamna ordinea lor pe abscisa).
Pe noi ne intereseaza ca functia sa fie mai mica sau egala cu 0 adica sa aiba semnul -, si asta se intampla cand m se plimba de la -∞ pana la radacina, adica pana la 1.

Raspunsul final este m∈(-∞,1].
Punem interval inchis la unu deoarece functia poate fi egala si cu 0.