Fic G și G' centre de greutate ale triunghiului ABC, respectiv triunghiul A'B'C'. Arătați că -> AA' + BB'+CC'=3GG', vectorial.
Răspunsuri la întrebare
Pentru a arăta că AA' + BB' + CC' = 3GG', vom utiliza teorema lui Pappus-Guldinus, care afirmă că pentru orice triunghi ABC, centrul de greutate G și centroidul A'B'C' sunt coliniare și G' este trei ori mai aproape de un vârf decât A'B'C' este de acesta.
Deci, vom considera triunghiurile AA'G, BB'G și CC'G, toate acestea au centrul de greutate G și centroidul A'B'C' respectiv.
Prin urmare, AA'G + BB'G + CC'G = 3GG'
Din teorema lui Pappus-Guldinus și cele trei ecuații, rezultă că:
AA' + BB' + CC' = 3GG'
Acesta este vectorial.
Acest lucru se poate demonstra si prin vectori, daca se știe că centrul de greutate G și centroidul A'B'C' au aceeași poziție, iar A'B'C' este trei ori mai aproape de un vârf decât G este de acesta.
Deci, vectorii AA',BB',CC' au aceeași direcție cu vectorul 3GG', iar ecuația vectorială este valabilă.