Question

Fie 3 numere p, q, si r ∈ IN , unde:

p + q = un numar prim
q + r = un numar prim
p + r = un numar prim
Aratati ca doua dintre numerele p, q si r sunt egale.

Answer 1

nu cred ca e bine p.q.r apartin pui N,
 deoarece un raspuns bun poate fi p=0 q=2 r=5
 p+q=2 r+p=5 q+r=7

(iar p,q,r sunt numere diferite) deci pt numere apartinand lui N se poate de aceea am
si sunt o infinitate de cazuri, doar 1 din numere trebuie sa fie 0

sa consoder pentru p,q,r apartine N*
 
cazul in care suma a doua dintre numere (p, q, r) sa fie 2, e din prima ignorata deoarece atunci ar fi ambele numere 1 (si ar fi 2 numere identice)

deci daca ignor cazul cu 2, inseamna neaparat ca toate sumele sunt impare

deci p+q =impar
pentru ca o suma sa fie impara, un termen trebuie sa fie par si unul impar

presupun ca p=par
deci q= impar

dar in relaria q+r stiu deja ca q este impar

deci r este par

iar dupa in relatia
p+r ambele sunt pare, deci suma este para

singurul numar prim par e 2 deci daca numerele apartin lui N* 
deci singura solutie este p=1 r=1
dar am presupus ca p este par, deci acest caz nu se poate

iar daca presupun ca p=impar
rezulta q=par
deci r=impar
iar daca si p si r sunt impare, rezulta ca
p+r este par (suma a doua numere impare este para)

iar singurul numar par prim este 2
deci p+r =2
si deoarece p,r apartin N*

rezulta ca p=r=1
deci daca p,r,q apartin lui N* mereu 2 vor fi egale

(daca apartin lui N simplu, atunci sunt o infinitate de cazuri cand toate difera)