Question

Fie a=1+3+3²+3³+.....+3⁶⁵.
a)aratati ca a este numar par.
b)aratati ca a este divizibil cu13

Answer 1

a)
a=3^0+3^1+3^2+3^3+.....+3^65
Inmultind cu 3 obtinem:
3·a=3^1+3^2+3^3+3^4+....+3^(65+1)
3·a=(3^0+3^1+3^2+3^3+.......+3^65)+3^(65+1)-3^0
Asadar:
3·a=a+3^(65+1)-3^0
De unde:
2·a=3^(65+1)-3^0
2·a=3^66-1
a=(3^66-1)/2
Ultima cifra a lui 3^66 este:
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
puterile lui 3 se termina in: 3,9,7,1; deci este set de 4.
66:4=16 rest 2
ultima cifra a numarului 3^66 este 9.
ultima cifra a numarului 3^66-1 este: 9-1=8
ultima cifra a numarului (3^66-1)/2 este: (9-1)/2=8/2=4
a are ultima cifra 4 deci a este numar par.
b)
a=3^0+3^1+3^2+3^3+......+3^65
Numarul de termeni de la 0 la 65=66 termeni=numar par de termeni
Grupam termenii cate 3 si obtinem 66/3=22 grupe
a=(3^0+3^1+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+......+(3^63+3^64+3^65)
Dam factor comun din fiecare paranteza pe 3
a=3^0(3^0+3^1+3^2)+3^3(3^0+3^1+3^2)+.......+3^63(3^0+3^1+3^2)
3^0+3^1+3^2=1+3+9=4+9=13
a=3^0*13+3^3*13+......+3^63*13
De aici, dam factor comun pe 13
a=13*(3^0+3^3+......+3^63)
Rezulta, deci, ca numarul a este divizibil cu 13 :)
##################################################################
^=la puterea
Succes la scoala! :)