Question

Fie a=111 la puterea 111+222 la puterea 222+ 333 la  puterea 333+444 la puterea 444+555 la puterea 555 - 666 la puterea 666. Aratati ca numarul a nu este patrat perfect

Answer 1

a=111¹¹¹+222²²²+ 333³³³+444⁴⁴⁴+555⁵⁵⁵ - 666⁶⁶⁶

Analizam:
111¹¹¹ are ultima cifra 1

222²²² are ultima cifra este 4 pentru ca :
222:4=55 rest 2 (ultima cifra a puterilor lui 2-sunt seturi de cate 4 :2,4,8,6)

333³³³ are ultima cifra 3
333:4=83 rest 1 (ultima cifra a puterilor lui 3-sunt seturi de cate 4 :3,9,7,1)

444⁴⁴⁴ ultima cifra este 6
444:2=222 rest 0 (ultima cifra a puterilor lui 2-sunt seturi de cate 4 :4,6,)

555⁵⁵⁵ are ultima cifra 5 ( pentru ca 5 la orice putere are ultima cifra 5)

666⁶⁶⁶ are ultima cifra 6 ( pentru ca 6 la orice putere are ultima cifra 6)


facand suma ultimelor cifre  ne da:
1+4+3+6+5-6=13
Nici un patrat perfect nu are ultima cifra 3!