Question

fie a=14n+11 si b=18n+13. Aratati ca numerele a si b sunt prime intre ele.

Answer 1

Presupunem prin absurd ca a=14n+11 si 18n+13 nu sunt prime, adica exista (a;b)=d a.i. d∈N si d>=2 <=> 9a=126n+99 si 8b=126n+104 (prin calcul am aflat [14;18]=126 ) => 8b-9a=5 iar a,b∈N . De asemenea avem 126n+99=d·m·9 iar 126n+104=d·p·8 astfel incat m,n∈N si (m;n)=1 <=> 5=d·(8p-9m) . Pentru ca d∈N si d >=2 => d/5 <=> d=5 si 8p-9m=1 ceea ce nu convine pentru 8b-9a=5 => 8p-9m=5 iar d=1 dar am precizat faptul ca d >=2 => contradictie. In concluzie, putem spune ca cele 2 numere a=14n+11 si b=18n+13 sunt prime intre ele ,unde a,b,n∈N .