Question

Fie a,b,c apartin R astfel incat a+b+c=0. Demonstrati ca:
1) (a+b)(b+c)(c+a)+abc=0
2) a**3 + b**3 + c*3 =3abc
3) a**4+b **4+c**4=2(a**2b**2+b**2c**2+a**2c**2)
a,b,c urmat de ** si de numar inseamna a,b,c la o putere

Answer 1

a+b+c=0=>a+b=-c
              =>a+c=-b
              =>b+c=-a
------------------------------(inmultire)
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(-c)(-b)(-a)+abc=-abc+abc=0
2) Se cunoaste relatia a*3+b*3+c*3=(a+b+c)*3-3(a+b)(b+c)(c+a)=0-3(-abc)=
=3abc
( din relatia anterioara se stie ca
    a+b+c=o si
     (a+b)(b+c)(c+a)=-abc) =>de unde rezultatul de mai sus
3)a*4+b*4+c*4=(a*2)*2+(b*2)*2+(c*2)*2=
notam cu u=a*2;v=b*2;t=c*2 avem relatia u*2+v*2+t*2=(u+v+t)*2-2(uv+ut+tv)=
=(a*2+b*2+c*2)*2-2((ab)*4+(ac)*4+(bc)*4)=...s.a.m.d si folosiind relatiile de mai sus se obtine rezultatul