Question

Fie a,b,c apartinand R* cu a+b+c=0. Aratati ca: $\frac{1 }{-a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} } + \frac{1}{a ^{2} -b ^{2} +c ^{2} } + \frac{1}{a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} } =0$

Answer 1

Din prima egalitate a+b+c =0 => a=-b-c si b=-c-a si c=-a-b unde a,b,c ∈R \{0} iar daca inlocuim in a doua egalitate avem

-a²+b²+c²=-a²+(-c-a)²+c²=-a²+c²+2ca+a²=c²+2ca=2c²+2ca=2c(c+a)=-2cb => 1 /-a²+b²+c² = - 1 /2cb iar prin analogie obtinem

1 /a²-b²+c² = - 1 /2ac respectiv 1 /a²+b²-c²= - 1 /ba =>prin insumare => -1/2(1 /cb +1 /ac +1 /ba)=-1/2(a+b+c /abc) dar deoarece a+b+c=0 => raportul din paranteza este =0 de unde concluzia si anume pentru a,b,c∈R\{0} => 1 /-a²+b²+c² + 1 /a²-b²+c² + 1 /a²+b²-c² =0 .