Question

Fie a,b,c,d,e cinci numere naturale distincte.
1. aratati ca daca 5 divide suma oricaror patru dintre aceste numere, atunci 5 divide si suma lor
2. aratati ca daca 5 divide suma oricaror trei dintre aceste numere, atunci 5 divide si suma lor
3. aratati ca daca 5 divide suma oricaror doua dintre aceste numere, atunci 5 divide fiecare numar

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

(1).

Consideram numerele naturale distincte:

a < b < c < d < e;

$a + b + c + d + 0e = 5k_1$

$a + b + c + 0d + e = 5k_2$

$a + b + 0c + d + e = 5k_3$

$a + 0b + c + d + e = 5k_4$

$0a + b + c + d + e = 5k_5$

Adunam toate ecuatiile si obtinem:

$4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 5(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)\\4(a +  b +c + d + e) = 5(k_1 + k_2 + k_3 + k_4 + k_5)$

Datorita proprietatii:

n | p*q => n | p ori n | q.

Folosim aceasta idee mai sus:

5 | 4(a + b + c + d + e) =>

5 | 4 sau 5 | a + b + c + d + e.

Prima e falsa, evident => 5 | a + b + c + d + e

(2).

Aceiasi logica ca in exercitiul anterior.

(3)

$a + 0b + 0c + 0d + e = 5k_1$ 1

$a + 0b + 0c + d + 0e = 5k_2$ 2

$a + 0b + c + 0d + 0e = 5k_3$ 3

$a + b + 0c + 0d + 0e = 5k_4$ 4

$0a + b + 0c + 0d + e = 5k_5$ 5

$0a + b + 0c + d + 0e = 5k_6$ 6

$0a + b + c + 0d + 0e = 5k_7$ 7

$0a + 0b + c + 0d + e = 5k_8$ 8

$0a + 0b + c + d + 0e = 5k_9$ 9

$0a + 0b + 0c + d + e = 5k_{10}$ 10

Adunam ecuatiile:

$4(a + b + c + d + e) = 5(k_1 + k_2 + ... + k_{10})$

La fel ca in (1) :

5 | 4 sau 5 | a + b + c + d + e.  (E)

A doua e corecta, insa acum vrem sa demonstram ca fiecare numar e divizibil cu 5.

Stim din primele sume ca fiecare suma a doua numere e divizibila cu 5:

a + e = 5k_1 si asa mai departe, vom folosi aceste proprietati pentru a demonstra individual ca fiecare numar e divizibil cu 5.

Din expresia E:

5 | a + b + c + d + e

1. 5 | (a + b) + (c + d) + e;

$5 | 5k_4 + 5k_9 + e => 5 | e.$

2. 5 | (a + b) + d + (c + e)

$5 | 5k_4 + 5k_8 + d => 5 | d$

Si tot asa pana ajungi la a, pasii se repeta, iar grupurile se schimba.

Sper ca am fost de ajutor!