Question

Fie a,b,c,d numere naturale nenule si p =a+b+c+d . Stiind ca p este numar prim , aratati ca p nu il divide pe ab-cd .

Answer 1

Presupunem prin absurd ca p il dive pe ab-cd
p|(ab-cd)
Dar a+b+c+d = p => d = p-a-b-c 
ab-cd = ab - c(p-a-b-c)
ab-cd=ab+ac+bc+c²-pc
ab-cd=a(b+c)+c(b+c)-pc
ab-cd=(b+c)(a+c)-pc
CUm p | (ab-cd) si p | pc 
Rezulta ca p | (b+c)(a+c)
Dar p este numar prim => p | (b+c) sau p | (a+c)
p ≤b+c sau p≤a+c
a+b+c+d≤b+c sau a+b+c+d≤a+c
a+d≤0 sau b+d≤0 in contradictie cu a+d>0 si b+d>0.
Presupunerea a fost falsa, deci p nu il dive pe ab-cd .

Answer 2

P nu îl divide pe ab-cd deoarece diferența este para