Question

Fie a,b∈R astfel incat a+b=2π. Aratati ca sina*sinb≤0.

Answer 1

Aplicam cosinus egalitatii $a+b=2\pi$:
$\cos(a+b)=\cos(2\pi)=1$
Folosim formula pentru cosinusul sumei:
$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=1$
$\cos(a)\cos(b)=1+\sin(a)\sin(b)$
Acum, cum pentru orice $x\epsilon \mathbb{R}$ $\cos(x) \leq 1$, vom avea ca $\cos(a)\cos(b) \leq 1$, deci:
$1+\sin(a)\sin(b) \leq 1$
de unde rezulta ca:
$\sin(a)\sin(b) \leq 0$

Answer 2

sin a*sinb=sina*sin(2π-a)= sina * sin(-a)= sina * (-sina) =-sin²a
cum sin a∈[-1;1]⇒sin²a∈[0;1]si -sin²a∈[-1;0]≤0
C.C.T.D.
 as simple as that!!



OBS.:
am tinut cont ca:
1) sina=sin (2kπ+a), k∈Z; adixca functia sinx este periodica, avand perioada principal 2π
si ca
2) functia sinx este impara, adica sin(-x) =-sinx