Question

Fie A(n)= n la puterea a 4-a + 2n la puterea a 3-a -n la puterea a 2-a -2n , unde n ∈ N*. Demonstrati ca A(n) se divide cu 8, oricare ar fi n ∈ N*.

Answer 1

$A(n)=n( n^{3} + 2n^{2}-n-2)= \\ ~~~~~~~=n[ n^{2}(n+2)-(n+2)]= \\ ~~~~~~~=n(n+2)(n^2-1) =\\~~~~~~~ = n(n+2)(n+1)(n-1)= \\ ~~~~~~~=(n-1)n(n+1)(n+2).$

A(n) este produsul a patru numere naturale consecutive. Intre patru numere naturale consecutive, intotdeauna exista un numar divizibil cu 2 si un numar divizibil cu 4, ceea ce inseamna ca produsul lor este divizibil cu 8.

Deci A(n) se divide cu 8, oricare ar fi n∈N*.