Question

Fie ∆ ABC echilateral cu AB = AC = BC = 6 cm. Si punctele M N si P mijloacele laturilor [B C ] , [ A C ] si [ A B ] in aceasta ordine .
a) Demonstrati ca A M este bisectoarea B A C .
b) Demonstrati ca A M este bisectoarea B A C .
c) Demonstrati ca A M _|_ BC .
d) Calculati perimetrul [ B C N P ] . Va rog ajuatima !!!

Answer 1

a) M este mijlocul lui BC, rezulta atunci ca
$BM=BCM=\frac{1}{2}BC$(1)
fiind triunghi echilateral, toate laturile sunt congruente deci AB=AC(2)
Din relatiile 1 si 2, precum si din faptl ca au latura comuna AM, rezulta ca triunghiurile ABM si ACM sunt congruente cu un caz latura,latura,latura LLL
si atunci rezulta ca si unghiurile lor sunt congruente adica
$\angle{BAM}=\angle{CAM}$
Dar AM este semidreapta care imparte unghiul A in aceste 2 unghiuri egale, rezlta ca AM este bisectoarea unghiului A
c) Intr-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt egale intre ele, si sunt egale cu 60
$\angle{A}=\angle{B}=\angle{C}=60$ am stabilit mai sus ca AM este bisectoarea unghiului A, atunci
$\angle{BAM}=\frac{1}{2}\angle{A}=\frac{60}{2}=30$
Atunci putem afla unghiul AMB din triunghiul ABM stiind ca suma unghiurilor dintr-un triunghi este de 180 de grade
$\angle{B}+\angle{BAM}+\angle{AMB}=180\Rightarrow 60+30+\angle{AMB}=180\Rightarrow \angle{AMB}=180-60-30=90$ daca unghiul in M este drept, inseamna ca AM este perpendiculara pe BC
d) P mijlocul lui AB atunci
$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{6}{2}=3$
N mijlocul lui AC atunci
$CN=\frac{1}{2}AC=\frac{6}{2}=3$
NP linie mijlocie in triunghiul ABC. Atunci
$NP=\frac{1}{2}BC=\frac{6}{2}=3$
Atunci perimetrul este
$P_{BCNP}=BC+CN+NP+BP=6+3+3+3=15$