Question

Fie ABC un triunghi cu m(<BAC) = 90° , AB = 30 cm , AC = 40 cm si AQ perpendicular pe BC , Q apartine lui BC . Notam M , N , P mijloacele laturilor BC , CA , respectiv AB.
a) Aratati ca ∆APN congruent cu ∆ QPN
b) Calculati perimetrul patrulaterului MNPQ
c) Demonstrati ca punctele M , N , A , P , Q sunt conciclice .

Answer 1

a)
in tr. dreptunghic ABQ, QP este mediana deci PQ=AB/2=15
in tr.dreptunghic AQC, QN este mediana  deci QN=AC/2=20
in consecinta triunghiurile APN si PQN sunt congruente (LLL)
AP=PQ=15
QN=AN=20
PN comuna

b)
cu pitagora calculezi BC
BC=50
scriem aria tr. ABC in 2 moduri din care gasim inaltimea AQ
BC*AQ=AB*AC
AQ=24
cu pitagora in tr. ABQ calculezi BQ
BQ=18
perimetrul MNPQ
P=PN+MN+MQ+QP=BC/2 + AB/2+(BC/2 - BQ)+AB/2
P=25+15+25-18+15=62

c)
∡BAC=90° ipoteza
∡PQN=90° vezi 1)
triunghiurile PQN si PMN sunt congruente (LLL)
PQ=AB/2=MN=15
QN=AC/2=PM=20
PN comuna deci ∡PMN=90°
A se afla pe semicercul PAN iar Q si M pe semicercul PQMN
ambele semicercuri au acelasi diametru deci A,P,Q,M,N se afla pe cercul cu diametrul PN

n-am facut calculele in detaliu cand am aplicat pitagora. banuiesc ca nu ai probmeme cu radicalii.
trebuie sa sti ca mediana dusa din varful unghiului drept este jumatate din ipotenuza
si mai trebuie sa sti ca linia mijlocie intr-un tr. uneste mijloacele a 2 laturi e paralela cu a treia si jumatate din ea.
nu mai zic de criteriile de congruenta ale triunghiurilor
si ultima gogoasa: laturile unui unghi de 90⁰ cu varful pe cerc subantinde un arc de cerc de 180⁰ deci se inscrie in semicerc