Question

Fie abc un triunghi echilateral iar p punct pe latura ac, bisectoarea unghiului abc taie paraleladusa prin a la bc in q . sa se arate ca bf=cp+aq

Answer 1

BQ bisectoarea lui ∡ABP

Trebuie sa aratam ca BP=CP+AQ

Prelungim AC pana in punctul N, astfel incat CN=AQ

• Notam F=BQ∩AC

• Notam ∡FBA=∡FBP=x

∡PBC=60°-2x

∡QAN=∡ACB=60° (alterne interne)

∡BAQ=∡BAN+∡QAN=60+60=120°

∡BCN=180-∡ACB=180-60=120°

⇒ ∡BAQ=∡BCN (1)

Avem AB=BC (din ipoteza) (2)

AQ=CN (3)

• Din (1) (2) si (3) ⇒ L.U.L ΔBCN≡ΔBAQ⇒ ∡CBN=∡ABQ=x

∡AQB=∡CNB

⇒ ∡NBQ=60° (deoarece ∡ABC=60°=2x+∡PBC, deci ∡NBQ=x+x+∡PBC=∡ABC=60°)⇒ ∡NBP=60-x (1)

∡CBN=∡ABQ=x

In ΔCBN, ∡CBN=x, ∡BCN=120°⇒ ∡BNC=180-120-x=60-x (2)

• Din (1) si (2)⇒ ∡BNC=NBP⇒ΔPBN isoscel⇒ BP=NP

Dar NP=PC+NC

• Stim ca NC=AQ⇒ NP=CP+AQ

Deci BP=CP+AQ