Question

Fie ABC un triunghi şi D Є (BC) astfel încât
unghiul DAB congruent cu unghiul DAC. Dacă AB = 4 cm şi AC = 6 cm, calculaţi
aria lui ADB/ADC.

Answer 1

Daca unghiurile DAB si DAC sunt congruente => [AD este bisectoarea unghiului A.
Acum folosim teorema bisectoarei, care enunță că: "Intr-un triunghi, o bisectoare determină pe latura opusă segmente proportionale cu laturile unghiului."

Deci, vom avea:
$\frac{4}{6} = \frac{BD}{DC}$
De aici scoatem pe BD si pe BC in functie de k. => BD=4k
                                                                           DC=6k

Ducem inaltimea [AP] in triunghiul ABC.
Acum scriem formula ariilor celor doua triunghiuri in functie de acea inaltime de lungime h. Astfel, [AP] este inaltime si in triunghiul ABD dar si in triunghiul ADC (inaltimea dusa din A pe latura DC, mai precis, fiind un triunghi obtuzunghic, pe continuarea laturii DC).

   A ABD=$\frac{h*BD}{2}$
   A ABD=$\frac{h*4k}{2}$
   A ABD= h*2k
Analog, vom avea: A ABD= h*3k

Astfel, $\frac{A triunghiuluiABD}{AtriunghiuluiADC} = \frac{h*2k}{h*3k}$ , care dupa simplificare rămâne $\frac{2}{3}$ .

Sper că te-am ajutat! :)