Question

Fie ABC un triunghi si D simetricul lui B fata de AC.Sa se arate ca ABCD este romb daca si numai daca (AB) congruent cu (BC).

Answer 1

$Fie~\{M\}=AC\cap BD,~cu~M~mijlocul~lui~BD$
AC si BD sunt diagonale in ABCD

Daca AB=BC, atunci triunghiul ABC este isoscel si BM este si mediana cu M mijlocul lui [AC]
Daca intersectia diagonalelor este si mijlocul fiecareia, atunci ABCD este paralelogram
Stim ca AB=BC, deci ABCD este romb

$Daca~AB\neq BC$
atunci BM nu mai este mediana, M nu mai este mijlocul lui [AC], ABCD nu mai este paralelogram, deci nici romb
$ABCD~este~romb\Leftrightarrow AB=BC$