Question

Fie ABC un triunghi și G centrul său de greutate. Se consideră punctul M definit prin MB (vector) = -2•MC (vector). Să se arate că dreptele GM și AC sunt paralele.

Answer 1

Desi problema este foarte simpla ca problema de geometrie sintetica (de clasa a VII-a), o sa-ti dau o solutie vectoriala ca sa te obisnuiesti mai bine cu vectori. trebuie sa stii in primul rand ca, pentru a arata ca doua drepte sunt paralele, trebuie sa aratam ca vectorii lor directori sunt coliniari. Iar coliniaritatea vectorilor se arata evidentiind un scalar cu ajutorul caruia il exprimam pe unul dintre vectori in functie de calalalt:
Mai precis:
$GM\ ||\ AC\Leftrightarrow \vec{GM},\vec{AC}\ coliniari\Leftrightarrow\exists\ \alpha\in\mathbb{R}\ a.i.\ \vec{GM}=\alpha\vec{AC}$  
Vom incerca sa-l determinam pe α.
[tex]\vec{MB}=-2\vec{MC}\Rightarrow \vec{BM}=2\vec{MC}\Rightarrow \vec{MC}=\frac{1}{2}\vec{BM}\\ \vec{BC}=\vec{BM}+\vec{MC}=\vec{BM}+\frac{1}{2}\vec{BM}=\frac{3}{2}\vec{BM}\ \ (1)\\ \text{De la clasa a 6-a stim ca } \vec{B'B}=\frac{3}{2}\vec{GB}~~~~~~~~(2)\\ \text{Adunand relatiile (1) si (2) avem:}\\ \vec{B'B}+\vec{BC}=\frac{3}{2}\vec{GB}+\frac{3}{2}\vec{BM}=\frac{3}{2}(\vec{GB}+\vec{BM})\Leftrightarrow\\ \vec{B'C}=\frac{3}{2}\vec{GM}\\ \text {Dar } \vec{B'C}=\frac{1}{2}\vec{AC}\\ [/tex]

[tex]\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{GM}\Rightarrow \vec{AC}=3\vec{GM}\\ [/tex]
Asadar, am reusit sa evidentiem numarul α=3 care indeplineste conditia din teorema prezentata la inceput. Conform acestei teoreme rezulta AC || GM