Question

Fie ABCD romb .  
mas(<A)= 60 de grade 
BD=6cm
M,N,P,Q sunt mijloacele laturilor [AB],[BC],[CD], si respectiv [DA]
a) Calculati perimetrul rombului
b)Aratati ca MNPQ este dreptunghi
c) Aratati ca triunghiul ANP este isoscel

Answer 1

a) Triunghiul ABD este isoscel, cu AB=AD. Cum unghiul A e de 60 de grade, rezultă că triunghiul este echilateral, deci AB=6. Atunci perimetrul rombului este 24.

b) MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci este paralelă cu AC și jumătate din AC. La fel, QP este linie mijlocie în triunghiul ADC, deci este paralelă cu AC și jumătate din AC. Atunci MN și PQ sunt paralele și egale, deci MNPQ este paralelogram. Raționând la fel pentru QM și PN, rezultă că ele sunt paralele cu BD. Dar diagonalele într-un romb sunt perpendiculare, deci MN este perpendiculară pe NP, deci paralelogramul este dreptunghi.

c) Triunghiurile ADP și ABN sunt congruente pentru că (LUL):
AD=AB=6, DB=BN=3, unghiul ADP este egal cu ABN, având măsura de 120 de grade.
Deci AP=AN.