Question

Fie ABCD trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare. Mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] sunt E, F, G respectiv H. Aratati ca:
a) EFGH este patrat
b) Aria abcd= EG²



Dau coroana!

Answer 1

HG este linie mijlocie in triunghiul ADC, atunci HG||AC si $HG=\frac{AC}{2}$
EF este linie mijlocie in triunghiul ABC, atunci EF||AC si $EF=\frac{AC}{2}$
Din aceste doua relatii, rezulta ca HG este paralel cu EF, HG||EF si HG=EF. Cele doua conditii sunt suficiente pentru a arata ca EFGH este un paralelogram.
Observam ca FG este linie mijlocie in triunghiul BCD, atunci rezulta ca FG||BD si $FG=\frac{BD}{2}$
Noi stim ca BD e perpendicular pe AC, daca FG e paralel cu BD, atunci FG e perpendicular pe AC. Mai stim ca HG este paralel cu AC, atunci FG este perpendicular pe HG. Un paralelogram cu un unghi drept este un dreptunghi

Apoi, intr-un trapez isoscel, diagonalele sunt congruente. Asta e usor de demonstrat luand de exemplu triunghiurile ABD si ABC: ambele au latura comuna AB, laturile AD=BC sunt egale din proprietatile triunghiului isoscel, iar unghiurile dintre laturi $\angle{DAB}=\angle{CBA}$ tot din proprietatile trapezului isoscel. Atunci, triunghiurile ABD si ABC sunt congruente, de unde rezulta ca si BD=AC.
Am aratat mai sus ca HG este jumatate din AC, GF este jumatate din BD, atunci HG=GF. Dreptunghiul cu doua laturi adiacente egale este un patrat, atunci EFGH este un patrat

b) Stiind ca EFGH este un patrat, ducem diagonalele acestui patrat, EG si HF si notam intersectia lor cu M. Stim ca diagonalele unui patrat sunt egale intre ele si perpendiculare si se intretaie la jumatate. Avem atunci urmatoarele relatii
(M jumatatea diagonalelor)
HM=MF
GM=EM
(diagonalele sunt egale)
HF=EG
(diagonalele sunt perpendiculare)
HM perpendicular pe HF, la fel EM perpendicular pe HF
Observam ca linia mijlocie HF imparte trapezul in doua trapeze separate
trapezul HFCD si trapezul ABFH. mai observam ca GM si EM sunt inaltimile celor doua trapeze(perpendiculare pe ambele baze din fiecare trapez) Putem calcula aria trapezului total ca fiind suma acestor doua trapeze
$A_{ABCD}=A_{HFCD}+A_{ABFH}=GM\frac{CD+HF}{2}+EM\frac{HF+AB}{2}=GM\frac{CD+HF}{2}+GM\frac{HF+AB}{2}=\GM\frac{AB+CD+2HF}{2}=GM(\frac{AB+CD}{2}+HF)$ Dar stim ca linia mijlocie are formula
$HF=\frac{AB+CD}{2}$ si mai stim ca HF=EG si $GM=\frac{EG}{2}$ caci M este la mijlocul lui EG. Atunci din formula de mai sus
$A_{ABCD}=\frac{EG}{2}(EG+EG)=\frac{EG}{2}*{2EG}=EG^{2}$