Question

Fie abcd un dreptunghi cu ab = 2 supra 3 * bc . Se considera punctele m,n apartine bc astfel incat bm congruent cu mn congruent cu nc si fie p mij lui ab a) aratati ca m dmp 90 b) determinati ca pnd este drepunghic isoscel

Answer 1

a) Observam ca

(1)

(2)

(3)

In dreptunghiul ABCD laturile opuse sunt congruente, atunci

(4)

Ne uitam acum la triunghiul BPM unde din relatia 2 stim ca BP=BM, deci triunghiul este isoscel. Atunci avem unghiurile congruente

Unghiurile unui dreptunghi sunt drepte, atunci Atunci avem

(5)

Ne uitam la triunghiul CMD. Din relatia 4) MC=CD deci triunghiul CMD este isoscel cu . Fiind dreptunghi  atunci avem

(6)

Din 5 si 6 si vazand ca unghiurile BMP CMD si PMD fiind suplimentare

b) Observam relatiile

(1)

si mai stim din enunt si din relatia 1) de la a)

(2)

Atunci ne uitam la triunghiurile BNP si NCD. Ambele sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiurile drepte  si din relatiile 1 si 2 de mai sus vedem ca ambele catete ale triunghiurilor dreptunghice sunt congruente BN=CD si BP=NC

Atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente(cazul CC cateta-cateta) si inseamna ca si ipotezele sunt congruente adica PN=ND.Ceea ce inseamna ca PND este triunghi isoscel.

Cele 3 triunghiuri sunt congruente, inseamna ca si unghiurile sunt congruente, deci

BPN si BNP sunt unghiurile complementare ramase in triunghiul dreptunghic BPN deci suma lor este de 90 grade

Observam ca unghiurile BNP,PND si CND sunt suplimentare, atunci

deci triunghiul isoscel PND este dreptunghic