Question

Fie ABCD un dreptunghi cu diagonala de 6radical5 cm si aria de 72 cm.Lungimea dreptunghiului este de...

Answer 1

Notez dimennsiunile dreptunghiului cu x si y si obtin:
x²+y²=180
xy=72
(x+y)²=x²+y²+2xy=180+144=324⇒x+y=18
Se observa ca numerele 8 si 9 au suma 18 si produsul 72, deci lungimea este 9 cm.
Aici am gresit, si am fost avertizat de Astronos 27. Este vorba intr-adevar de numerele 12 si 6, deci lungimea este 12, asa cum a rezolvat cineva mai jos.

Se pot afla numerele x si y din ecuatia de gradul doi $x^{2} -18x+72=0$
(ecuatia $x^{2} -Sx+P=0$ este ecuatia ale carei radacini dau suma S
 si produsul P.)
$\Delta=324-288=36\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{18\pm6}{2}\Rightarrow x_1=12;x_2=6$

Answer 2

Sa notam latimea dreptunghiului cu a, iar lungimea cu l.

Din faptul ca aria este de 72 cm, obtinem prima relatie, si anume ab=72.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD, cu ipotenuza BD, de $6 \sqrt{5}$. Obtinem  $(6 \sqrt{5})^2=a^2+b^2$. De aici, $a^2+b^2=180$

Scotand din prima relatie pe b si tinand cont ca a este diferit de 0, obtinem $b= \frac{72}{a}$.

Inlocuim in cea de-a doua relatie.

$a^2+ (\frac{72}{a})^2=180$

Eliminam numitorul.

$a^4+5184=180a^2 <=> a^4-180a^2+5184=0$

Am obtinut o ecuatie bipatrata in necunoscuta a. Notam $a^2=y>0$ si obtinem ecuatia de gradul 2 in necunoscuta y:

$y^2-180y+5184=0$

$delta=11664=108^2$

Solutiile sunt y1=36 si y2=144, ambele pozitive, deci convin.

Pentru  $y1=36 => a^2=36 => a=6 => b= \frac{72}{6} =12$
Pentru  $y2=144 => a^2=144 => a=12 => b= \frac{72}{12} = 6$

Deci latimea, respectiv lungimea, vor fi de 6 cm, respectiv de 12 cm.