Question

Fie ABCD un dreptunghi, N simetricul lui D fata de B si M simetricul lui A fata de C. Arata ca patrulaterul ABMN este trapez isoscel.

Answer 1

ABCD este un dreptunghi de aici deducem ca:
AB||CD. AB=CD iar diagonalele sunt congruente AC=BD
Notam cu O intersectia diagonalelor AC si BD. Stim ca diagonalele unui dreptunghi se intersecteaza la jumatatea lor, atunci
OA=OC si OB=OD iar per total $AC=2OC=BD=2OD$
M este simetricul lui A fata de C atunci distantele de la A si M la C sunt egale
AC=CM
N este simetricul lui B fata de D atunci distantele de la B si N la D sunt egale
BD=DN
Ne uitam la triunghiul OMN si observam urmatoarea egalitate de rapoarte de segmente
$\frac{OD}{ON}=\frac{OD}{OD+DN}=\frac{OD}{OD+BD}=\frac{OD}{OD+2OD}=\frac{1}{3}$ $\frac{OC}{OM}=\frac{OC}{OC+CM}=\frac{OC}{OC+2OC}=\frac{1}{3}$  deci observam ca segmentul CD impart laturile OM si ON ale triunghiului in rapoarte egale. Din teorema lui Thales rezulta ca CD||MN si raportul dintre ele este egal cu al celorlalte rapoarte
$\frac{OC}{OM}=\frac{OD}{ON}=\frac{CD}{MN}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=3CD$
Din relatia de mai sus vedem ca CD||MN dar si CD||AB de unde rezulta ca si AB||MN. In acest moment, patrulaterul este fie paralelogram daca AB=MN sau trapez daca nu sunt congruente
Dar am vazut mai sus ca MN=3CD si AB=CD deci nu sunt congruente, deci patrulaterul ABMN este trapez cu baza mare MN si baza mica AB

ne uitam la diagonalele AM si BN ale trapezului ABMN. Putem observa ca diagonalele sunt congruente
$AM=AC+CM=2AC=2BD=BD+DN=BN$ Un trapez care are diagonalele congruente este un trapez isoscel.