Question

Fie ABCD un patrulater oarecare. Demonstrati ca mijloacele laturilor sale sunt varfurile unui paralelogram: in cazul ABCD patrulater convex si in cazul ABCD patrulater concav.

Answer 1

notam cu M,N,P,Q mijloacele laturilor patrulaterului ABCD
M∈AB, N∈BC, P∈DC, Q∈AD
in ΔABD QM e linie mijlocie (uneste mijloacele laturilor AD si AB), deci QM si BD sunt paralele si QM=BD/2
la fel, in ΔBCD, NP e linie mijlocie, deci NP si BD sunt paralele si NP=BD/2
rezulta ca si QM si NP sunt paralele si congruente
la fel, se demonstreaza in ΔABC si ΔADC ca MN si QP sunt paralele si congruente (=AC/2)
deci, patrulaterul MNPQ are laturile doua cate doua paralele si congruente, deci e paralelogram