Question

Fie ABCD un trapez isoscel cu AB ║ CD, AB=12 cm, DC=6cm si m(DAB)=60°.
Aflați:

a) Raza cercului circumscris triunghiului.
b) Lungimea arcului BC si aria sectorului BOC, unde O este centrul cercului cicumscris trapezului.

Answer 1

Desenăm trapezul, apoi  ducem înălțimile DD'  și CC'.

Triunghiurile dreptunghice DD'A și CC'B sunt de forma (30°,  60°,  90°).

Cu teorema unghiului de 30° rezultă că AD = BC = 6 cm.

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul CC'B ⇒ CC' = 3√3 cm.

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul CC'A ⇒ AC = 6√3.

Cu reciproca teoremei unghiului de 30 ° ⇒ m(∡CAB) = 30° ⇒

⇒ m(∡BCA) = 90°.

Deci triunghiul BCA este dreptunghic, de forma (30°,  60°,  90°).

Cercul circumscris trapezului este același cu cercul circumscris triunghiului dreptunghic CAB, iar raza este egală cu jumătate din ipotenuza AB.

Așadar, R = AB/2 =12/2 = 6 cm

b) Arcul BC are măsura dublă măsurii unghiului CAB, adică are 60 °.

Aria sectorului BOC  se calculează cu formula :


$\it \mathcal{A}_{sector} = \dfrac{\pi R^2 u}{360^0}$

unde unghiul u =60 °.