Question

Fie b1, b2,b3,...,bn,... o progresie geometrică cu termeni nenuli și rație q diferit de 1 . Știind că b1=1 și 2b(n+1)-bn-b(n-1)=0 pentru orice n>2, să se determine q și suma Sn a primilor n termeni ai progresiei.​

Answer 1

Stim ca intr-o progresie geometrică avem relatia:

bn = b1 × q^(n-1)

În cazul nostru, b1 = 1, deci:

bn = q^(n-1)

b(n+1) = q^n

b(n-1) = q^(n-2)

Relația din enunt

devine:

2q^n - q^(n-1) - q^(n-2) = 0

q^(n-2) × (2q^2 - q - 1) = 0

Unul dintre termenii produsului trebuie sa fie 0.

q^(n-2) nu poate fi 0.

Inseamna ca 2q^2 - q - 1 = 0

Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4×2×(-1) = 1+8 = 9

q1 = (-b+radical delta)/2a = (1+3)/4 = 1, dar problema spune că q este diferit de 1

q2 = (- b-radical delta)/2a = (1-3)/4 = -2/4 = -1/2

Rezultă că rația progresiei geometrice este q = -1/2

Suma primilor n termeni ai progresiei este

Sn = b1 × (q^n - 1)/(q - 1)

Sn = 1 × [(-1/2)^n - 1]/(-1/2 - 1) =

= [(-1/2)^n - 1)/(-3/2) =

= -2/3 × [(-1/2)^n - 1)

R: q = -1/2

Sn = -2/3 × [(-1/2)^n - 1]