Question

Fie ca a,b doua numere reale ; a Demonstrati ca :

a).a < 2a+b/3 < a+2b/3 < b
b). a < 3a+b/4 < a+b/2 < a+3b/4 < b
c) a < 4a+b/5 < 3a+2b/5 < 2a+3b/5 < a+4b/5 < b

Answer 1

 a<b⇒b-a>0
a. a<(2a+b)/3<(a+2b)/3<b  |·3⇔
⇔3a<2a+b<a+2b<3b |-3a⇔
⇔0<b-a<2b-2a<3b-3a ⇔
⇔0<(b-a)<2(b-a)<3(b-a)  |:(b-a)>0⇔
⇔0<1<2<3 ceea ce este adevarat⇒ propozitia initiala este adevarata
⇒a<(2a+b)/3<(a+2b)/3<b, pentru a<b
b.a < (3a+b)/4 < (a+b)/2 < (a+3b)/4 < b |·4⇔
⇔4a<3a+b<2(a+b)<a+3b<4b ⇔
⇔4a<3a+b<2a+2b<a+3b<4b |-4a ⇔
⇔0<b-a<2b-2a<3b-3a<4b-4a ⇔
⇔0<(b-a)<2(b-a)<3(b-a)<4(b-a) |:(b-a)>0⇔
⇔0<1<2<3<4 adevarat ⇒
⇒a < (3a+b)/4 < (a+b)/2 < (a+3b)/4 < b pt. a<b
c. a < (4a+b)/5 < (3a+2b)/5 < (2a+3b)/5 < (a+4b)/5 < b |·5⇔
⇔5a<4a+b<3a+2b<2a+3b<a+4b<5b |-5a⇔
⇔0<b-a<2b-2a<3b-3a<4b-4a<5b-5a⇔
⇔0<(b-a)<2(b-a)<3(b-a)<4(b-a)<5(b-a) |:(b-a)>0 ⇔
⇔0<1<2<3<4<5 adevarat⇒
⇒a < (4a+b)/5 < (3a+2b)/5 < (2a+3b)/5 < (a+4b)/5 < b pt a<b

Am scapat intai de numitori, inmultind cu 3, 4 si respectiv 5.
am obtinut 0 la inceputul inegalitatii (adica am scazut numarul respectiv de a)
am impartit la (b-a) care am aratat la inceput ca este pozitiv (daca era negativ se schimbau semnele inegalitatii)
si am obtinut o relatie adevarata, ceea ce inseamna ca si relatia initiala este adevarata