Question

Fie cercul de centru / și razăr care este înscris într-un triunghi oarecare ABC, a încât laturile triunghiului sunt tangente la cerc. Arătaţi că raza cercului înscris este cu raportul dintre aria triunghiului şi semiperimetrul triunghiului.

Answer 1

Centrul cercului înscris este I (punctul de intersecție a bisectoarelor ).

Distanța de la I la orice latură a triunghiului este r (raza cercului înscris).

$\it \mathcal{A}_{ABC} = \mathcal{A}_{ABI}+ \mathcal{A}_{BCI}+ \mathcal{A}_{ACI}=\dfrac{AB\cdot r}{2}+\dfrac{BC\cdot r}{2}+\dfrac{AC\cdot r}{2}=\\ \\ \\ =\dfrac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\dfrac{\mathcal{P}}{2}\cdot r=p\cdot r \Rightarrow r=\dfrac{\mathcal{A}_{ABC}}{p}$