Question

Fie D,E,F mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] ale triunghiului ABC.Sa se arate ca:
a) AD·BC+BE·CA+CF·AB=0
b) MD·BC+ME·CA+MF·AB=0
oricare ar fi M din plan
c)mediatoarele laturilor triunghiului sunt concurente
Laturile sunt scrise sub forma vectorila(bara deasupra)

Answer 1

a)AD·BC+BE·CA+CF·AB=(AB+AC)/2*BC+(BA+BC)/2*CA+(CA+CB)/2*Ab=
=1/2(AB*BC+AC*BC+BA*CA+BC*CA+CA*AB+CB*AB)=
=1/2(AB*BC+AC*BC+BA*CA-BC*AC-CA*BA-BC*AB)=0
b)MD·BC+ME·CA+MF·AB=(MB+MC)/2*BC+(MA+MC)/2*CA+(MB+MA)/2*AB=
=1/2[(MC+MB)(MC-MB)+(MA+MC)(MA-MC)+(MB+MA)(MB-MA)]=
=1/2(MC²-MB²+MA²-MC²+MB²-MA²)=0
c)Fie triunghiul ABC, D,E,F mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB].
Construim mediatoarele laturilor AB si BC si notam cu O punctul de intersectie. Vom demosntra ca vectorii OE si CA sunt perpendiculare si in consecinta, O va fi punctul de concurenta al mediatoarelor.
In relatia demonstrata la punctul b), in locul lui M vom pune O si obtinem:
OD·BC+OE·CA+OF·AB=0 (1)
Deoarece OF⊥AB si OD⊥BC=>OF·AB=0 si OD·BC=0.
Din (1)=>OE·CA=0=> m(∡OE,CA)=90°=>OE⊥CA=> mediatoarele sunt concurente in O.