Question

Fie dat un numar de sase cifre N. Demonstrati ca daca diferenta dintre numerele formate cu primele trei cifre si ultimele trei cifre ale numarului N se divide cu 7, atunci numarul se divide cu 7.

Answer 1

$\text{Fie N=}\overline{mnopqr}. \text{ Din ipoteza stim ca }\overline{mno}-\overline{pqr}~ \vdots~ 7\\\text{Facem un artificiu de calcul:}\\N=\overline{mnopqr}=1000\cdot \overline{mno} +\overline{pqr} = 1001\cdot \overline{mno} -\overline{mno}+\overline{pqr}=\\=7\cdot 11\cdot 13\cdot \overline{mno}  - (\overline{mno}-\overline{pqr})\\\text{N este o diferenta dintre doi termeni divizibili cu 7,deci N este divizibil cu }\\\text{7}.$