Question

fie dezvoltarea ( x² - 2/x) la puterea n, n€N, x≠0. Aflati termenul independent de x stiind ca suma primilor 3 coeficienti ai dezvoltarii este egala cu 49​

Answer 1

Răspuns:

-C(n,0),

Explicație pas cu pas:

Pentru a dezvolta expresia ( x² - 2/x) la puterea n, vom folosi formula lui Newton pentru coeficienții binomului:

(x + y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + ... + C(n,n-1)x^1 y^(n-1) + C(n,n)x^0 y^nunde C(n,k) reprezintă coeficientul binomial "n alege k" și este egal cu n!/(k!(n-k)!).

În cazul nostru, y este -2/x, astfel încât expresia noastră se poate scrie ca (x - 2/x)^n.Pentru a găsi termenul independent de x, vom căuta termenul cu x la puterea 0, adică vom căuta coeficientul C(n,k) care corespunde valorii k pentru care x^(n-k) (-2/x)^k este egal cu 1.

Deoarece (-2/x)^k va fi întotdeauna un număr negativ sau pozitiv, pentru a obține 1, trebuie să avem k par și (-2/x) să fie pozitiv, sau k impar și (-2/x) să fie negativ.

Astfel, putem scrie termenul independent de x ca:C(n,0)(x^n)(-2/x)^0 + C(n,2)(x^(n-2))(-2/x)^2 + C(n,4)(x^(n-4))(-2/x)^4 + ...Pentru a simplifica această expresie, observăm că fiecare termen conține factorul (-2)^k, astfel încât putem scrie:(x - 2/x)^n = C(n,0)x^n - C(n,1)x^(n-2)2 + C(n,2)x^(n-4)2^2 - C(n,3)x^(n-6)2^3 + ...

Deoarece suma primilor trei coeficienți este egală cu 49, putem scrie:C(n,0) - C(n,1)2 + C(n,2)2^2 = 49și putem rezolva această ecuație pentru C(n,0) pentru a găsi termenul independent de x. Obținem:C(n,0) = (49 + 2C(n,1) - 4C(n,2))/2

Pentru a găsi termenul independent de x, trebuie să găsim valorile C(n,1) și C(n,2).

Acestea se pot calcula astfel:

C(n,1) = nC(n,2) = n(n-1)/2

Înlocuind aceste valori în ecuația de mai sus, obținem:

C(n,0) = (49 + n - 2n(n-1))/2 = 25 - n(n-1)

Astfel, termenul independent de x este -C(n,0),