Question

Fie E si F proiectiile varfurilor B, respectiv D' ale cubului ABCDA'B'C'D' pe diagonala AC' .
a) Demonstrati ca patrulaterul BFD'E este paralelogram dar nu poate fi romb.
b)Daca EF=2√3 cm, calculati:
i)lungimea muchiei cubului
ii) aria laterala a cubului.

Answer 1

a) triunghiurile AD'C' si ABC' sunt dreptunghice coplanare si congruente
D'F este inaltime in AD'C' si BE este inaltime in ABC'
din congruenta triunghiurilor rezulta D'F=BE (1)
D'F⊥AC', BE⊥AC' ⇒ D'F║BE, cu (1) rezulta ca BFD'E este paralelogram
deoarece D'F<D'E si BE<BF, ⇒ BFD'E nu poate fi romb
b)
notam cu l latura cubului
AD'=BC'=l√2 cm
AC'=BD'=l√3 cm
aria AD'C' in 2 moduri ⇒ D'C' x AD'=AC' x D'F
D'F=D'C' x AD'/AC'=l x l√2/l√3
D'F=BE=l√6/3 cm
stim ca in paralelogram diagonalele se injumatatesc
OF=OE=√3 cm
OD'=OB=l√3/2
pitagora in FOD' ⇒ OD'^2=OF^2+D'F^2
3l^2/4=3+6l^2/4
l=6 cm
Al=4 x l^2=144 cm2