Question

Fie E(x)= x-(1/x-3 + 8-x²/x-2 × 1/x-3) : x²+3x+2/2(x²-x-2) , unde x ∈ R - {-2;-1;2;3}. 
a)Aratati ca E(x)= x+2 
b)Rezolvati ecuatia: 1/E(x) =2 

Answer 1

a)
x- (\frac{1}{x-3} + \frac{8-x^2}{x-2} * \frac{1}{x-3}): \frac{x^2 +3x+2}{2(x^2-x-2)}= \\ =x- \frac{x-2+8-x^2}{(x-3)(x-2)} : \frac{(x+2)(x+1)}{2(x-2)(x+1)} =\\ \\ =x-\frac{-x^2+x+6}{(x-3)(x-2)} : \frac{(x+2)}{2(x-2)}= \\ \\ =x+ \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-2)} : \frac{(x+2)}{2(x-2)}= \\ \\ =x+ \frac{(x+2)}{(x-2)} : \frac{(x+2)}{2(x-2)}= \\ \\ =x+ \frac{(x+2)}{(x-2)} * 2\frac{(x-2)}{(x+2)}= x+2
b)
E(2)+E(4)+.....+E(2012)=2+2+4+2+...+2012+2=4+6+8+....+2014=
=\frac{4+2014}{2}*( \frac{2014-4}{2}+1)= 1009*(1005+1)=1009*1006=1015054