Question

Fie ecuaţia cu coeficienţi raţionali $x^4-6x^2+mx+n=0$.Dacă o rădăcină a ecuaţiei este x1=$1-\sqrt{2}$,atunci:

Answer 1

Răspuns:

$d) m^{2}+n^{2}=1$

Explicație pas cu pas:

Deoarece ecuatia este cu coeficieinti rationali si are o radacina $1-\sqrt{2}$ atunci cea de-a 2-a radacina este $1+\sqrt{2}$. Astfel polinomul $P(x)=x^{4}-6x^{2}+mx+n$ se divide la polinomul $Q(x)=(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})=x^{2}-2x-1$. Restul impartirii polinomului P(x) la Q(x) este $R(x)=mx+n-1$. Deoarece P(x) este divizibil la Q(x), cerem ca $R(x)=0$, de unde rezulta $m=0, n=1.$ Astfel $m^{2}+n^{2}=1.$