Matematică, întrebare adresată de supercozonac27, 8 ani în urmă

Fie f: (0,∞)->R, f(x)= $\frac{ax^2+1}{x}$ .
Care este valoarea lui a>0 daca asimptotele functiei fac intre ele un unghi de 45°?

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$f:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f(x) = \dfrac{ax^2+1}{x}\\ \\ \lim\limits_{x\to +0}f(x) = \pm \infty \Rightarrow x = 0\text{ asimptota verticala la }+ \infty \\ \\ \Rightarrow \text{Are asimptota verticala }x=0,\text{ iar asimptota oblica} \\ \text{trebuie sa faca un unghi de 45 de grade cu cea verticala}\\ \\ y = x\rightarrow \text{ asimptota oblica} \\ \text{Dreapta y = x formeaza un unghi de 45 de grade cu axa Oy}.$

$\text{Ca y = x sa fie asimptota oblica pentru f(x) trebuie ca:}\\ \\\lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[f(x) - x\Big] = 0\Rightarrow\lim\limits_{x\to \pm \infty}\Big[\dfrac{ax^2+1}{x} - x\Big] = 0\Rightarrow\\ \\\Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[\dfrac{ax^2-x^2+1}{x} \Big] = 0 \Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty} \Big[\dfrac{(a-1)x^2+1}{x} \Big] = 0 \\ \\ \Rightarrow \boxed{a = 1}$

halogenhalogen: Cum x>0, nu pot spune "Are asimptote verticale x=0" deoarece este una singura. Nu pot sa presupun din start ca y=x este asimptota oblica, pana nu aflu limita din f(x)-x ca sa vad cat e termenul liber. Pot spune doar ca panta asimptotei este 1 din cauza unghiului si atunci cum limita de f(x)/x = a si e chiar panta respectiva, pot spune ca a=1 si in continuare fac si lim de f(x) -x sa vad termenul liber, de ci e fortat sa sa spun direct ca y=x trebuie sa fie asimptota pentru functia data.

Rayzen: Uitasem ca x>0

Răspuns de halogenhalogen

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Anexe: