Fie f:[2,8]-> R, x) | x -2 |-|x-4|-|2x-6|. Determinați suma dintre cea mai mare şi cea mai mică valoare a lui f(x).
Răspunsuri la întrebare
Facem un tabel de semne
x-2=0 ⇔ x=2∈[2; 8]
x-4=0 ⇔x=4∈[2; 8]
2x-6=0 ⇔ x=3∈[2; 8]
x | 2 3 4 8
-------------------------------------------------------------------------------
x-2 | 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
-------------------------------------------------------------------------------
x-4 | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
-------------------------------------------------------------------------------
2x-6 | - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Cazul 1: x∈[2; 3]
f1=|x -2|-|x-4|-|2x-6|= x-2 + (x-4) + (2x-6)=4x-12
f1 este suntie de gradul 1, strict crescatoare 4>0
min(f1)=4*2-12=8-12=-4 si max(f1)=4*3-12=0
Cazul 2: x∈(2; 3)
f2=|x -2|-|x-4|-|2x-6|= x-2 + (x-4) - (2x-6)=0
f2 functia este constanta, punctul de minim coincide cu punctul de maxim: 0
Cazul 3: x∈[3; 8]
f3=|x -2|-|x-4|-|2x-6|=(x-2)-(x-4)-(2x-6)=-2x+8
f3 este functie de gradul 1, strict descrescatoare (-2<0)
min(f3)=-2*8+8=-8 si max(f3)=-2*3+8=2
Putem scrie functia f:[2; 8] -> R ca
f(x)={ 4x-12, x∈[2; 3]
{ 0, x∈(3; 4)
{ -2x+8, x∈[3; 8]
min (f)=-8 si max(f)=0
Suma lor este -8