Fie Fie f : R → R , f(x) = x² + 1, x ≥ 1 si 4x - 2, x < 1
Să se arate ca f este inversabilă și să se determine inversa sa.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
conf. inerv. de monotonie ale fctiei de grad2, functia e strict crescatoatre , deci injectiva, pt x>0deci si pt x≥1
cum pt x=1, f(x)= 2 si pt x→∞, f(zx)→∞, deci surjectiva pe [2,∞)
inversa
fie y-x²=1
x²=y-1
x=±√(y-1)
cum y>1>0. luam y=√9x-10
adica f^(-1) (x) =√(x-1) :[1,∞)→(0,∞) vezi grafic atasat
a doua functie este o functie de grad1, bijectiva pe R deci si pe (-∞;1)
iar inversa ei estye tot o functiede grad1
y=4x-2
4x=y=2
x=y/4 +1/2
f(x) ^(-1) =x/4+1/2
vezi garfic atrasatr
observi la ambele simetria fat dee prima bisectoare, y=x
dac ai o singura functie arati ca e CONTINUA si MONOTONA
e continua pt ca lim cad x→1 f9x)=4*1-2=2
si f(x) =1²+1=2 deci functia este continua
de asemenea, cum f(x) e crescatoare pe [1;∞), pt ca 1>0 (la 1,2) avem un minim , dupacare functia creste ( a=1>0) si crescatoare pe (∞;1) pt ca extensia a=4>0, functai estwedeci crescatoarwe pe R. decio mionotona, deci injectiva
de as, lim cand x→-∞ din f(x) =4*(-∞)-2=-∞
deci toat functia este surjectiva pe R
si injectiva pe R
deci bijectiva
deci INVERSABILA
ia inversa este
f(x) ={-x/4+1/2 pt x<1
{√(x-1) pt x≥1
