Question

Fie functia  f   : [0 , 1] → R ,
f  ( x ) =   x * sin  (π/x) , x ∈ (0 , 1]
               0 ,                 x  = 0 .

Sa se precizeze care dintre raspunsurile de mai jos este corect.
a)  f   este continua pe [0 , 1]
b)  f   este discontinua ın punctul  x  = 0
c)  f   este continua pe [0 , 1] ∩ Q
d)  f   are limita nenula ın punctul  x  = 0
e)  f   este discontinua ın punctul pe  x  = 1
 f)  f   nu admite limita ın punctul  x  = 0

Answer 1

Pentru $x\in(0,1]$ functia este continua deoarece este compusa din produsul a doua functii continue.
Pentru a stabili daca este continua in x=0 este suficient sa aratam $\lim_{x \to 0} f(x)=f(0)$.
Deoarece [tex]|sint|\leq 1, \forall t\in R=>0 \leq|x|\cdot|sin\frac{\pi}{x}|\leq|x|\\ \ \lim_{x \to 0} |x|=0 \ folosind \ teorema \ clestelui \ =>\\ \lim_{x \to 0} x \cdot sin \frac{\pi}{x} =0=f(0).[/tex]
Functia este continua pe [0;1].