Question

Fie functia f:R-->R, f(x)=(m+3)x²-(m+4)x+m+4, m diferit de -3. Sa se determine m€R astfel incat:

A) f(x)<0, oricare ar fi x€R
B) f(x)>0, oricare ar fi x€(-infinit, -2)

Answer 1

Hello, pentru a rezolva aceasta problema, incepem prin a intelege esenta intrbarii, deci practic(in punctul a), functia noastra trebuie sa fie mai mica ca 0, pentru orice x, adica f(x) < 0, iar f(x) = (m + 3)*x² - (m + 4)*x + m + 4, deci (m + 3)*x² - (m + 4)*x + m + 4 < 0.
Acum sunt mai multe metode de a rezolva asa problema, eu o sa o explic pe cea mai usoara(in viziunea mea), noi stim ca daca panta - coeficientul lui x² este pozitiv, atunci ramurile parabolei vor fi orientate in sus, deci indiferent de m, va exista x, astfel incat f(x) > 0, deci panta trebuie sa fie negativa: (m + 3) < 0 <=> m < - 3, acum a doua conditie, Delta < 0, de ce? Deoarece daca delta >= 0, atunci functia are zerouri, iar zerourile nu semnifica nimic altceva decat intersectia graficului cu axa Ox, adica functia trece de Ox si ia valori pozitive pe un anumit interval, deci Delta < 0 <=> (m + 4)² - 4*(m + 4)*(m + 3) < 0 <=> m² + 8*m + 16 - 4*(m² + 7*m + 12) < 0 <=> m² + 8*m + 16 - 4*m² - 28*m - 48 < 0 <=> - 3*m² - 20*m - 32 < 0 <=> 3*m² + 20*m + 32 > 0, aflam zerourile: Delta = 400 - 384 = 16, m1 = (20 - 4)/6 = 16/6, m2 = (20 + 4)/6 = 4. Acum 3(panta) e pozitiva, deci functia ia valori pozitive de la (- infinit; 16/6) U (4; + infinit), acum sa nu uitam de conditia precedenta m < - 3, in urma intersectiei obtii: m € (- infinit; - 3).


Acum la punctul b, daca ar fi x € R, am aplica aceasi logica, insa daca e intervalul (-infinit; - 2) am pierde solutii, deoarece noi am verifica pentru intervalul (- infinit; infinit), din aceasta cauza noi analizam problema, din nou vizualizam problema grafic, daca de la - infinit, pana la - 2, f(x) > 0, deci in primul rand panta e pozitiva, deoarece ramurile parabolei trebuie sa fie orientate in sus, pentru a respecta conditia, si functia pana la - 2 e mai mare ca 0, deci - 2 e zeroul functiei, inlocuim in functie: 4*(m + 3) + 2*(m + 4) + m + 4 = 0 <=> 7*m + 24 = 0 <=> m = -24/7 = -3 3/7, insa m + 3 > 0, deci m > - 3, ceea ce nu satisface conditia. Deci aici cam ajuns intr-o dilema, deoarece ar trebui sa exista o solutie, si deja postez aici rezolvarea pentru x € R: m > - 3 si m € (- infinit; 16/6) U (4; infinit) => m € (- 3; 16/6) U (4; + infinit).


Daca ai intrebari, scrie in comentarii!