Question

Fie functia f:R->R, f(x)=-x^{2}+4x+5. Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (- \infty ,2] si strict descrescatoare pe intervalul [2,+ \infty ).

Answer 1

Pentru ca $a=-1$⇒Funcţia este concavă, deci vârful parabolei $V(\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a})$ este punct de maxim al graficului functiei, iar
$x=- \frac{b}{2a}$ este punctul de maxim al functiei. Pentru ca
$- \frac{b}{2a} = \frac{-4}{-2} =2$ rezulta ca pe intervalul
 $(-\infty, 2]$ functia este strict crescatoare, iar pe intervalul
 $[2,+\infty)$ functia este strict descrescatoare.

Alt[ demonstratie>
$f'(x)=-2x+4$ cu radacina x=2 si tinand cont de semnul derivatei, care este + de la -infinit la 2 si - in rest, rezulta cerinta problemei. ( Daca pe un interval derivata unei functii are semnul + functia este strict crescatoare, iar daca are semnul - functia este strict descrescatoare.)

Answer 2

Folosesti imaginea functiei. Pentru ca este o functie de gradul 2, Im(f) are o formula:(-infinit, -Δ/4a); daca esti clasa a 11-a, poti folosi derivata: f'(x)=-2x+4, egalezi cu
0 si semnul derivatei pe un interval este acelasi cu al functiei pe acel interval.