Question

Fie functia f:R→R, f(x)=-x²+4x+5. Sa se aate ca functia f este strict crescatoare pe intervalul (-∞, 2] si strict descrescatoare pe intervalul [2, +∞). (Explicatii pentru nivel de clasa a 9-a.)

Answer 1

[tex]\it f(x) = ax^2+bx+c \ \ \ (forma\ \ general\breve{a}) \\\;\\ Aici\ \ avem:\ f(x) = -x^2+4x+5 \Rightarrow a = -1\ \textless \ 0 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow f(x) \ admite \ un\ maxim\ V\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)[/tex]

[tex]\it -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2\cdot{(-1)}} = 2 \\\;\\ \\\;\\ -\dfrac{\Delta}{4a}= -\dfrac{b^2-4ac}{4a} = -\dfrac{16-4\cdot{(-1)}\cdot5}{4\cdot{(-1)}} = \dfrac{16+20}{4} = \dfrac{36}{4}=9[/tex]

Deci, f(x) admite maximul V(2,  9) ⇒ f este strict crescătoare pe intervalul

(-∞,  2] și este strict descrescătoare pe intervalul [2,  ∞)

Observație:

Problema se referă la monotonia funcției de gradul al doilea.

Reprezentarea grafică a funcției de gradul al doilea este o parabolă.

Vârful parabolei, care poate fi un punct de maxim sau un punct de minim,

 se notază cu V.