Question

FIe functia

$f(x) = \left \{ {{-x-2, x>-1} \atop {mx-3, x\leq -1 }} \right. x$

Sa se determine valoarea parametrului real m pentru care f este bijectiva si sa se determine in acest caz f^-1

Answer 1

Condițiile pentru ca funcția să fie bijectivă sunt ca -x-2 si mx-3 sa fie egale cand x = -1 iar mx-3 să aibă aceeași monotonie ca -x-2, adică să fie tot descrescatoare => m < 0

=> 1-2 = -m-3 => m = -2,  m < 0 => m = -2

Funcția noastră este:

$y = \begin{cases} -x-2,\quad x >-1 \\ -2x-3,\quad x \leq -1\end{cases}$

Functia inversă se calculează astfel:

$x = \begin{cases} -y-2,\quad y>-1 \\ -2y-3,\quad y \leq -1\end{cases}\\\\\\x = -y-2 \Rightarrow y = -x-2 \\ -2y-3 = x \Rightarrow 2y = -x-3 \Rightarrow y = -\dfrac{x+3}{2}\\ \\ \\ \Rightarrow y = \begin{cases} -x-2,\quad -x-2 > -1 \\ -\dfrac{x+3}{2},\quad -\dfrac{x+3}{2}\leq -1\end{cases} \\ \\ \\\Rightarrow f^{-1}(x) = \begin{cases} -x-2,\quad x<-1\\ -\dfrac{x+3}{2},\quad x \geq -1\end{cases}$